Teorema binomial

Koefisien dari teorema binomial dapat dilihat pada segitiga pascal dan ditentukan menggunakan aturan kombinasi.

Dalam matamatika bidang aljabar elementer, teorema binomial adalah rumus penting nang memberikan ekspansi atawa pangkat dari penjumlahan antara dua variabel. Versi nang paling sederhana menyambat bahwa:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)$

Gasan setiap bilangan riil atawa kompleks x dan y, serta barataan bilangan bulat taknegatif n. Koefisien binomial nang muncul dalam persamaan (1) kawa didefinisikan dalam bentuk fungsi faktorial n!:

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.$

Gasan contoh, gasan 2 ≤ n ≤ 5:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,$

$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,$

$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,$

$(x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\,$

Lihati bahwa:

1. Pangkat dari $x$ bagarak turun dimana pada suku nang pertama dimulai lawan n ($x^{n}$) wan pada suku terakhir sama dengan 0 ($x^{0}=1$).
2. Gasan pangkat dari $y$ berlaku sebaliknya dimana pada suku pertama sama dengan 0 ($y^{0}=1$) wan pada suku terakhir sama dengan n ($y^{n}$).

Gasan binomial nang mamakai pengurangan, teorema binomial kawa diterapkan dengan tanda nang balawanan pada suku berikutnya:

$(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,$

$(x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\,$

$(x-y)^{4}=x^{4}-4x^{3}y+6x^{2}y^{2}-4xy^{3}+y^{4}\,$